Tarea 4Ejercicios de Geometría Analítica, Sumatoria y Productoria

La siguiente tarea consta de cinco (5) grupos de ejercicios, los cuales se muestran a continuación:

Ejercicio 1: La Recta

Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar uno de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.

Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias:

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Gallent, C., & Barbero, P. (2013). Programaci√≥n did√°ctica. 4¬ļ ESO: matem√°ticas opci√≥n B. Alicante, ES: ECU. P√°ginas 115 – 146.

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Ortiz, C. F. J. (2014). Matem√°ticas 3 (2a. ed.). M√©xico, D.F., MX: Larousse – Grupo Editorial Patria. P√°ginas 48 ‚Äď 82.

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Rond√≥n, J. (2017). Algebra, Trigonometr√≠a y Geometr√≠a Anal√≠tica. Bogot√° D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. P√°ginas 285 ‚Äď 299.

 

Ejercicios propuestos:

1. Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12.75 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18.75 cada una. Encuentre la ecuación de la demanda, suponga que es lineal. Determine el precio unitario cuando se demandan 37 unidades.

2. Un economista modela el mercado del trigo mediante las ecuaciones siguientes:

Ecuaci√≥n de oferta: y = 8,33p ‚Äď 14,58

Ecuación de demanda:  y = -1,39p + 23,35

Aquí  es el precio por bushel (en dólares) y  la cantidad de bushels producidos y vendidos (en millones).

a)¬†¬† ¬ŅEn qu√© punto el precio es tan bajo que no se produce trigo?

b)¬†¬† ¬ŅEn qu√© punto el recio es tan elevado que no se vende trigo?

1.¬†¬† Una compa√Ī√≠a de autom√≥viles ha determinado que el costo promedio de operar

un autom√≥vil de tama√Īo est√°ndar, incluyendo gasolina, aceite, llantas y mantenimiento, aument√≥ a $ 0.122 por milla en 2000.

a)¬†¬† Escriba una ecuaci√≥n que relacione el costo promedio C, en pesos, de operar un autom√≥vil de tama√Īo est√°ndar y el numero de millas x que se ha manejado

b)¬†¬† ¬ŅCu√°l es el costo de manejar un autom√≥vil durante 1000 millas

2.   La siguiente tabla de valores ilustran la deuda interna de EE.UU. en miles de

millones de dólares, entre 1910 y 2002. Determine la pendiente de los segmentos de recta entre 1910 y 1930, y entre 1970 y 2002.

 

A√ĪoDeuda Interna de EE.UU. (miles de millones de d√≥lares)
19101.1
193016.1
1950256.1
1970370.1
19903323.3
20025957.2

 

Fuente: Departamento del Tesoro de EE: UU., Oficina de Deuda Interna.

 

3.   Cada domingo, una agencia de periódicos vende x copias de cierto periódico a

$ 1.00 cada copia. Cada periódico le cuesta a la agencia $ 0.50. La agencia paga un costo fijo por almacenamiento, entrega, etc. de $ 100 cada domingo.

 

a)¬†¬† Escriba una ecuaci√≥n que relacione la ganancia P, en d√≥lares, con el n√ļmero de copias vendidas.

b)¬†¬† ¬ŅCu√°l es la ganancia para la agencia si se venden 1000 copias?

 

Ejercicio 2: Circunferencia y Elipse

Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar uno de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.

Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias:

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Ortiz, C. F. J. (2014). Matem√°ticas 3 (2a. ed.). M√©xico, D.F., MX: Larousse – Grupo Editorial Patria. P√°ginas 93 ‚Äď 103, 130 – 140.

·         Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 300 Р303.

 

Ejercicios propuestos:

 

6. Un campesino tiene un manantial dentro de sus tierras. √Čste se encuentra 5 km hacia el este y 3 km hacia el norte del cruce de dos caminos perpendiculares. Desea construir una cerca circular cuyo centro sea el manantial y que la distancia m√°xima sea hasta la casa, la cual se ubica 1km hacia el este y 2 km hacia el sur de dicho cruce. Obt√©n la ecuaci√≥n que representa a la cerca circular.

7. Un avi√≥n que sobre vuela el espacio a√©reo del aeropuerto Olaya Herrera de Medell√≠n, a una distancia constante de 3 km de la torre al aeropuerto, ¬ŅCu√°l es el lugar geom√©trico del trayecto que describe el avi√≥n en estar sobre vuelo circular con respecto a la torre de control?

8. El sism√≥logo de Colombia, en su ultima actividad detecto que el epicentro del sismo fue a 6 kil√≥metros al oeste de la capital de la republica y 4 kil√≥metros al norte de la misma, con un radio de 5 kil√≥metros a la redonda. ¬ŅCu√°l es la ecuaci√≥n de la circunferencia de la regi√≥n del √°rea afectada?

9. Un carpintero desea construir una mesa el√≠ptica de una hoja de madera contrachapada, de 4 pies por 8 pies. Trazar√° la elipse usando el m√©todo de ‚Äúchincheta e hilo‚ÄĚ que se ilustra en la figura. ¬ŅQu√© longitud del hilo debe usar y a que distancia debe colocar las chinchetas, si la elipse ha de ser la m√°s grande posible a cortar de la hoja de madera contrachapada?

¬†10. En la figura 1, se muestran las especificaciones de un techo el√≠ptico para un sal√≥n dise√Īado como galer√≠a de susurros. En una galer√≠a susurrante, una persona que est√° en un foco de la elipse puede susurrar y ser escuchada por otra persona colocada en el otro foco, porque todas las ondas sonoras que llegan al techo procedentes de un foco se reflejan hacia el otro foco. ¬ŅEn d√≥nde est√°n los focos del sal√≥n?

 

Figura 1

Ejercicio 3: Hipérbola y Parábola

Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar uno de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.

Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias:

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Ortiz, C. F. J. (2014). Matem√°ticas 3 (2a. ed.). M√©xico, D.F., MX: Larousse – Grupo Editorial Patria. P√°ginas 112 ‚Äď 121.

·         Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 310 Р323.

 

Ejercicios propuestos:

11. En la figura 2, dos observadores ubicados en los puntos A y B oyen el sonido de una explosión de dinamita en momentos distintos. Debido a que saben que la velocidad aproximada del sonido es de 1100 pies/s ó 335 m/s, determinan que la explosión sucedió a 1000 metros más cerca del punto A que del punto B. Si A y B están a 2600 metros de distancia, demostrar que el lugar de la explosión está en la rama de una hipérbola. Encuentre una ecuación de esa hipérbola.

 

Figura 2

12. Una torre de enfriamiento, como la que se ve en la figura 3, es una estructura hiperb√≥lica. Suponga que el di√°metro de su base es de 100 metros y su di√°metro m√°s peque√Īo de 48 metros se encuentra a 84 metros de la base.¬† Si la torre mide 120 metros de altura, calcule su di√°metro en la parte m√°s alta.

 

Figura 3

13. En un puente colgante, la forma de los cables de suspensi√≥n es parab√≥lica. El puente que se muestra en la figura tiene torres que est√°n a 600 m una de la otra, y el punto m√°s bajo de los cables de suspensi√≥n est√° a 150 m debajo de la c√ļspide de las torres. ¬ŅEncuentre la ecuaci√≥n de la parte parab√≥lica de los cables?, colocando el origen del sistema de coordenadas en v√©rtice.

[Nota: esta ecuación se emplea para hallar la longitud del cable necesario en la construcción del puente.] Ecuación de la parábola: y = ax2 + bx + c

 

 

 

 

14. En las l√≠neas laterales de cada juego de f√ļtbol transmitido por televisi√≥n, la cadena NBC utiliza un reflector parab√≥lico con un micr√≥fono en el foco del reflector para captar las conversaciones entre los jugadores en el campo. Si el reflector parab√≥lico es de 3 pies de ancho y 1 pie de profundidad, ¬Ņd√≥nde se deber√≠a colocar el micr√≥fono?

Figura 1. Sección transversal del reflector parabólico

15. El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jard√≠n sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuaci√≥n x2 ‚Äď 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¬ŅCu√°l es la m√°xima altura que alcanza el chorro de agua?

 

Ejercicio 4: Sumatoria

 

Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar uno de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.

 

Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias:

 

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Mesa, O. J., & Gonz√°lez, P. L. (2009). Propiedades de las sumatorias. C√≥rdoba, AR: El Cid Editor | apuntes. P√°ginas 1 ‚Äď 9

 

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Mart√≠nez, B. C. (2011). Estad√≠stica b√°sica aplicada (4a.ed.). Bogot√°, CO: Ecoe Ediciones. P√°ginas 33 ‚Äď 36.

 

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Rond√≥n, J. (2017). Algebra, Trigonometr√≠a y Geometr√≠a Anal√≠tica. Bogot√° D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. P√°ginas 348 ‚Äď 354.

 

Ejercicios propuestos:

16. En un circuito eléctrico se observa que la corriente total aumenta por dia 1 amperio. La medición de la correinte en el primer dia es de 8 amperios. Calcule:

a)   La cooriente esperada para el dia septimo, utilizando el concepto de sumatoria

b)   La sumatoria total de la corriente

 

17.  Una empresa fabrica canastillas plasticas, y recibe  un pedido de un cliente de

30 unidades y solicita que cada d√≠a se entregue 1 casnastilla m√°s que el dia anterior. En el penultimo d√≠a se entregaron 104 canastillas. ¬ŅCuantas canastillas se entregaron en total?

18. Al final de un curso de Matemáticas en una Universidad, se desea estimular a  los estudiantes dandoles una veca con un pago total de 1406 creditos, de la  siguiente manera: en orden acendente del ultimo de la lista al primero, 2 al ultimo,

4 al siguiente en acenso, 6 al siguiente en acenso y as√≠ secuencialmente. ¬ŅCuantos estudiantes fueron vecados?

19. En una construci√≥n de una carretra de 6530 metros de longitud, una aplanadora realiza el siguiente recorrido para al√Īizar la capa asfaltica:

En el primer minuto recorre a metros, en el segundo minuto recorre 2a metros y retrocede 10 metros, al tercer minuto se recorre 3a metros y retrocede 10 metros, y asi sucesivamente asta completar el trabajo en 42 minutos. ¬ŅCalcular el valor de a?

20. En una competencia olímpica, para la prueba de los 100 metros planos, se obtienen los siguientes tiempos (en segundos) para 6 competidores durante 5 días, tal como lo relaciona la siguiente tabla:

COMPETIDORDIA 1DIA 2DIA 3DIA 4DIA 5
112.0012.3211.5911.5012.01
210.5311.0511.0410.5711.10
311.1011.0511.1511.0311.11
412.1511.3011.2010.5810.48
510.4210.4810.5010.4910.46
611.3212.3411.3011.4211.05

 

Usando la notación de sumatorias, totalice los tiempos del competidor con mejor promedio durante los días de competencia.

 

Ejercicio 5: Productoria

Cada uno de los estudiantes leerá atentamente los ejercicios propuestos a continuación y debe seleccionar uno de los ejercicios referenciados y anunciar su escogencia en el foro, por medio de la Tabla 1.

Para el desarrollo de esta tarea, es necesario que el estudiante revise en el Entorno de Conocimiento (Unidad 3), las siguientes referencias:

¬∑¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬†¬† Mart√≠nez, B. C. (2011). Estad√≠stica b√°sica aplicada (4a.ed.). Bogot√°, CO: Ecoe Ediciones. P√°ginas 36 ‚Äď 38.

·         Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 360 -365.

  

Ejercicios propuestos:

 

21. ¬†Veinte autos participan en una carrera ¬ŅDe cu√°ntas maneras diferentes pueden entregarse los premios al primero, segundo y tercer lugar?, Exprese la soluci√≥n por medio del operador productoria.

22. Un gerente desea ascender a 6 de sus 17 ejecutivos para colocarlos como l√≠deres en las 6 √°reas de la empresa: direcci√≥n general, administraci√≥n, recursos humanos, finanzas, publicidad e inform√°tica. ¬ŅCu√°ntas opciones distintas se tiene para efectuar estos ascensos?, Exprese la soluci√≥n por medio del operador productoria.

23. La probabilidad de que un avión entre a mantenimiento en la flota de aviones de carga de la fuerza aérea está dado por:

Calcular la probabilidad de mantenimiento de los aviones de carga.

24. Cuatro viajeros llegan a una ciudad en la que hay 6 hoteles. ¬ŅDe cu√°ntas maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en un hotel diferente?

25. Determine el producto de los diez (10) primeros enteros positivos.